Eis a variedade, o conceito que mudou a forma como os matemáticos veem o espaço

A versão original de esta história apareceu em Revista Quanta.

Parados no meio de um campo, podemos facilmente esquecer que vivemos num planeta redondo. Somos tão pequenos em comparação com a Terra que, do nosso ponto de vista, ela parece plana.

O mundo está cheio dessas formas – formas que parecem planas para uma formiga que vive nelas, embora possam ter uma estrutura global mais complicada. Os matemáticos chamam essas formas de variedades. Introduzido por Bernhard Riemann em meados do século 19, as variedades transformaram a forma como os matemáticos pensam sobre o espaço. Não era mais apenas um cenário físico para outros objetos matemáticos, mas sim um objeto abstrato e bem definido que vale a pena estudar por si só.

Esta nova perspectiva permitiu aos matemáticos explorar rigorosamente espaços de dimensões superiores – levando ao nascimento da topologia moderna, um campo dedicado ao estudo de espaços matemáticos como variedades. As variedades também passaram a ocupar um papel central em campos como geometria, sistemas dinâmicos, análise de dados e física.

Hoje, eles dão aos matemáticos um vocabulário comum para resolver todos os tipos de problemas. Eles são tão fundamentais para a matemática quanto o alfabeto é para a linguagem. “Se eu sei cirílico, sei russo?” disse Fabrício Bianchium matemático da Universidade de Pisa, na Itália. “Não. Mas tente aprender russo sem aprender cirílico.”

Então, o que são variedades e que tipo de vocabulário elas fornecem?

Ideias tomando forma

Durante milênios, a geometria significou o estudo de objetos no espaço euclidiano, o espaço plano que vemos ao nosso redor. “Até os anos 1800, ‘espaço’ significava ‘espaço físico’”, disse José Ferreirós, filósofo da ciência na Universidade de Sevilha, em Espanha – o análogo de uma linha numa dimensão, ou de um plano plano em duas dimensões.

No espaço euclidiano, as coisas se comportam conforme o esperado: a distância mais curta entre dois pontos quaisquer é uma linha reta. Os ângulos de um triângulo somam 180 graus. As ferramentas de cálculo são confiáveis ​​e bem definidas.

Mas no início do século XIX, alguns matemáticos começaram a explorar outros tipos de espaços geométricos – aqueles que não são planos, mas sim curvos como uma esfera ou sela. Nestes espaços, linhas paralelas podem eventualmente se cruzar. Os ângulos de um triângulo podem somar mais ou menos que 180 graus. E fazer cálculo pode se tornar muito menos simples.

A comunidade matemática lutou para aceitar (ou mesmo compreender) esta mudança no pensamento geométrico.

Mas alguns matemáticos queriam levar essas ideias ainda mais longe. Um deles era Bernhard Riemann, um jovem tímido que originalmente planejara estudar teologia – seu pai era pastor – antes de se interessar pela matemática. Em 1849, decidiu fazer o doutorado sob a tutela de Carl Friedrich Gauss, que vinha estudando as propriedades intrínsecas de curvas e superfícies, independentemente do espaço que as rodeia.